はじめての数論/正誤表

出典: JMath

各版における訂正および訂正予定箇所

第3版第3刷（勝山さんの指摘；第4刷で訂正予定）

  • 第6章36ページ
  • 第20章132ページ
  • 第33章231ページ

第3版第2刷（第3刷で訂正予定）

  • 第8章54ページ
  • 第11章72ページ
  • 第12章77ページ
  • 第13章83ページ
  • 第14章89ページ

第3版第1刷（第2刷で訂正）

  • 第4章27ページ；ドリーニュの国籍
  • 第6章38ページ
  • 第7章50ページ
  • 第8章52ページ

第2版第?(5?)刷

  • 第4章20ページ
  • 第6章35ページ
  • 第7章45ページ
  • 第8章46ページ
  • 第12章71ページ

目次

[編集] 第1章．数論とは何ものでしょう？

[編集] 第2章．三平方の定理とピタゴラス数

[編集] 第3章．ピタゴラス数と円周上の点

[編集] 第4章．高いベキ指数とフェルマーの最終定理

質問（2002年4月23日更新）
第2版20ページの現代の数学者の国籍について「ジョン・コーツ（アメリカ）」は「オーストラリア」の誤りではありませんか？（菊地さんのご指摘）
「ピエール・ドリーニュ（フランス）」は「ベルギー」の誤りではありませんか？（橋本さんのご指摘）
回答
おっしゃる通りです．したがってジョン・コーツ（オーストラリア），ピエール・ドリーニュ（ベルギー）になります．
ご指摘ありがとうございました．
さらに恥ずかしいことに次の２名の方，原著に記載があったにも関わらず落ちてました．関係者の方にはご不快なことだったと思います．お詫びいたします． 
V.A.コリヴァギン（ロシア），エルンスト・クンツ（ドイツ）
なお原著ではいずれも正しくなっています．
回答補足（第3版27ページ）でドリーニュの国籍のみ誤りのままです．

[編集] 第5章．割り切れる関係 − 整除性と最大公約数

[編集] 第6章．一次方程式と最大公約数

第2版29ページ（第3版36ページ）表の下に2行目の式
誤
42x + 30y = 6(7x + ty)は6の倍数
正
42x + 30y = 6(7x + 5y)は6の倍数
第2版31ページ（第3版38ページ）表内の式
誤
4=16-2\times 6=(a-2b)-3\times (-a+3b)=3a-8b
正
4=16-2\times 6=(a-2b)-2\times (-a+3b)=3a-8b
練習問題6.4（第2版第?刷以降修正済）
質問
変数 y は無駄ではありませんか？
回答(2001年9月11日)
アルゴリズムの終了時点で解を返す以外に事実上 y を使わなくても済むのは事実です．
ここでは数学的理解；常に除算ステップで2数の余りを a,b,x,y で与えるよう変数が使われていること，それによって本文中のユークリッドの互除法の各段階における式との対応が見やすくなっている利点が大きいのです．
あなたがもし効率的なプログラミングコードを書く必要があるのでしたら，どうぞ，他の変数で置き換えてください．
質問
このアルゴリズムはうまく働かないのではありませんか？
回答(2002年1月7日)
確かにうまく働きませんね．訳者のチェック不足ですいません．
上記コメントのときに，もっと慎重にチェックすればよかった．
著者の確認はとっていませんが，次のように修正すると働くようになります． 
   ステップ(5) (x,g)=(v,w)
ステップ(5)を上のように置き換えてください．
回答追加(2002年1月8日)
Silverman氏より確認をいただきました．一行追加して 
   (5) (x,y)=(v,w)
   (5') g=w
としてください．
変数 y は途中で使われていないので，どちらでも問題なく働きます．

[編集] 第7章．素因数分解と算術の基本定理

第2版44ページ（第3版51ページ）練習問題7.3(c)
誤 
1+a^2+a^3+\cdots+a^n=
正 
1+a+a^2+a^3+\cdots+a^n=
質問(2003年8月7日更新：第2版第?刷以降修正済)
練習問題7.6(c)にある数値「75400」は「75460」の誤りではありませんか？（埼玉県の岩崎さんの指摘）
回答
おっしゃる通りここの数値は n=75460=2^2 5\ 7^3 11 が正しいです．
ご指摘ありがとうございました

[編集] 第8章．余りを調べる − 合同式

質問(2002年4月23日更新)
第2版46ページ（第3版52ページ）の合同の定義式において「a\equiv b \pmod b」は「\bmod m\」の誤りではありませんか？（菊地さんのご指摘）
回答
おっしゃる通りです．したがって46ページの最初の式は 
a\equiv b \pmod m
になります．ご指摘ありがとうございました．
なお原著では正しく \bmod m\ になっています．
質問(2008年6月23日更新)
第3版54ページの下から7行目「x\equiv 20\equiv 2\ (mod 22)」は「x\equiv 20\equiv -2\ (mod 22)」の誤りではりませんか？（加藤さんのご指摘）
回答
おっしゃるとおりです．ご指摘ありがとうございました．なお，この式の「20\equiv -2\ (mod 22)」の「-2」部分は訳者の加筆です．読者からの質問に負の数の代表系をとった場合に正解でよいのかどうか問い合わせがいくつかあったものですから．

[編集] 第9章．合同式，ベキ乗，そしてフェルマーの小定理

[編集] 第10章．合同式，ベキ乗，そしてオイラーの公式

質問(2003年8月7日更新)
オイラー関数の定義にある不等式 1\leq a\leq m\ において等号は不要ではありませんか？（埼玉県の岩崎さんの指摘）
回答
等号はあってもなくてもいい，が実際のところです．
互いに素な数を数えるのにどちらでも同じとなります．
歴史的にはオイラー関数が「以下」で定義されたということから，定義としては等号つき不等号の≦として，便利の上では始めから除外される数を含まない不等号＜を使ったり，定義の段階から節約をして不等号＜を用いる場合も多いです．
この本ではたとえばこの10章において両方のスタイルが断りなく混ざっています．
訳者としては，定義の直後に現れた部分に限っては，不等号の扱いが一致するよう手を入れさせていただきました．
数学書においては，同値である概念について，どの概念で定義をするべきかという考え方はあまりしないのが通例です．
もちろんあまり見かけない定義を使う場合には，よく知られた定義との同値性を示すことから始めます．
ご指摘ありがとうございました

[編集] 第11章．オイラーの \varphi 関数と中国の剰余定理

質問(2008年06月23日更新)
p.72の下から8行目の式「(41 − 9) / 11 = 3」は「(41 − 8) / 11 = 3」の誤りではありませんか？（加藤さんの指摘）
回答
おっしゃるとおりです．ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第12章．数の原子 − 素数

第2版71ページ
誤
素数の並び 3,5,7,11,13,17,19,23,\dots の13,17が欠落している版がある
質問(2008年06月23日更新)
p.77の13行目の式 2\cdot 3\cdot 7\cdot 43\cdot +1=23479 は 2\cdot 3\cdot 7\cdot 43\cdot 13+1=23479 の誤りではありませんか？（加藤さんのご指摘）
回答
おっしゃるとおりです．ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第13章．素数を数える

質問(2008年06月23日更新)
第3版83ページの定理の式において極限「n\to\infty」は「x\to\infty」の誤りではありませんか？（加藤さんのご指摘）
回答
おっしゃるとおりです．ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第14章．メルセンヌ神父の素数

第2版83ページ
誤
URL 途中 .../reserach/...
正
.../research/...
第3版89ページ(2008年06月23日更新)
表の下5行目「ですから， n が m でれるとき」は「ですから， n が m で割れるとき」の誤りではありませんか？（加藤さんのご指摘）
回答
おっしゃるとおりです．ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第15章．メルセンヌ素数と完全数

[編集] 第16章．平方を繰り返して法 m のベキ乗を計算する

[編集] 第17章．法 m で k 乗根を計算する

[編集] 第18章．ベキ乗，ベキ乗根，そして解読不能な暗号

[編集] 第19章(2nd.32章)．素数判定テストとカーマイケル数

第２版218ページ
誤
この予想は70年以上もの間，証明されずに残されていました．
ついに1984年にW.R.アルフォード，...
正
この予想は80年以上もの間，証明されずに残されていました．
ついに1992年にW.R.アルフォード，...

[編集] 第20章(2nd.19章)．オイラーの \varphi 関数と約数の和

第2版113ページ（第3版132ページ）補助定理の3行上の式
誤
F(n) = \varphi(d_1)+\varphi(d_1)+\dots +\varphi(d_1)
正
F(n) = \varphi(d_1)+\varphi(d_2)+\dots +\varphi(d_r)

[編集] 第21章(2nd.20章)．法 p でのベキ乗と原始根

[編集] 第22章(2nd.21章)．数論世界の対数 − 原始根と指数

[編集] 第23章(2nd.22章)．法 p での平方数

[編集] 第24章(2nd.23章)．p を法として − 1 は平方数ですか？ 2はどうですか？

[編集] 第25章(2nd.24章)．平方剰余の相互法則

質問(2002年2月5日更新)
第2版157ページの平方剰余の相互法則において「a\とb\を相異なる素数とせよ」は「奇数」の誤りではありませんか？（東京都のIさんの指摘）
回答
おっしゃる通り平方剰余の相互法則の仮定は「a\とb\を相異なる奇数とせよ」の誤りです．
ご指摘ありがとうございました．
質問
157ページの平方剰余の相互法則において「条件 \gcd(a,b)=1\」が必要ではありませんか？（東京都のIさんの指摘）
回答
アプローチは2つあります．一つはこの質問のように条件 \gcd(a,b)=1\ を加えること．
もう一つはヤコビ記号の値を \gcd(a,b)\not\equiv 1 のときに0と定義することです．
このように値0と定義してもヤコビ記号に関する乗法的性質などはすべて満たされることを確かめてみてください．
数学的には前者のようにヤコビ記号で扱う数から \gcd(a,b)\not\equiv 1\ を除外するほうが美しいとわたしは思います．
一方，ヤコビ記号を平方剰余に関する計算手段と見たときは，後者の定義を使うと \gcd(a,b)=1\ をヤコビ記号の計算前にチェックする必要がないので便利であり（ヤコビ記号の計算ステップはユークリッドの互除法に似てますから），互除法に似た計算を進める内に0であることがわかることとなって実用的です．
別の見方として，後者のほうが未定義な値がないので数学の一般化思想からは美しいと思う人もいます．
どちらがよいかは好みの分かれるところです．この条件を要する問題はルジャンドル記号（22章）でも起こります．
回答補足（2002年2月5日追加）
著者のSilverman氏と話したところ訳注をつけておいたほうが親切だろう，ということになりました．
このため次回増刷時に以下の文言を157ページ最下部の訳注に追加します．
このヤコビ記号に関する法則の証明は本書では行なっていません．
a\とb\の間に条件 \gcd(a,b)=1\ を追加すると数学の定理としてより美しくなります．
この条件を追加しない場合は \gcd(a,b)\not\equiv 1 のとき平方剰余記号の値を0と定義します．
どちらでもうまく行くことを確かめてください．

[編集] 第26章(2nd.25章)．どの素数が平方数2つの和となるのでしょう？

[編集] 第27章(2nd.26章)．どの数が平方数2つの和となるのでしょう？

[編集] 第28章(2nd.27章)．方程式 X4 + Y4 = Z4

[編集] 第29章(2nd.28章)．平方数と三角数再び

[編集] 第30章(2nd.29章)．ペルの方程式

第2版191ページ
誤 
x_k+Dy_k=\left(x_1+y_1\sqrt{D}\right)^k
正 
x_k+\sqrt{D}y_k=\left(x_1+y_1\sqrt{D}\right)^k

[編集] 第31章(2nd.30章)．有理数で実数を近似する − ディオファントス近似

[編集] 第32章(2nd.31章)．ディオファントス近似とペル方程式

第2版205ページ
誤 
x_k^2-Dy_k^2=\left(x_1+y_1\sqrt{D}\right)^k
正 
x_k+\sqrt{D}y_k=\left(x_1+y_1\sqrt{D}\right)^k

[編集] 第33章．数論と虚数 − 人が生み出した数

第3版231ページ（第2版223ページ）7行目
誤
たとえば，負の数（ヨーロッパでは14世紀ににおいてすら
正
たとえば，負の数（ヨーロッパでは14世紀においてすら

[編集] 第34章．ガウス整数と素因数分解の一意性

第2版245ページ
誤
数 N=1415700\ を使いましょう．
正
数 N=289496493000\ を使いましょう．

[編集] 第35章．分数で表せない数 − 無理数と超越数

第2版254ページ
誤
私たちが \sqrt{2} は有理数であるというとき
正
私たちが \sqrt{2} は無理数であるというとき

[編集] 第36章．数を並べる法則 − 二項係数とパスカルの三角形

第2版272ページ
誤
=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!} ...
正
\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!} ...

[編集] 第37章．フィボナッチのウサギと線形回帰数列

[編集] 第38章(3rd only)．おお，なんて美しい関数だこと

[編集] 第39章(3rd only)．連分数のでんぐり返り世界

[編集] 第40章(3rd only)．連分数，平方根，そしてペル方程式

[編集] 第41章(2nd.38章)．数列を生む式 − 毋関数

[編集] 第42章(2nd.39章)．ベキ乗の和

質問(2004年6月14日更新；第2版第?刷以降修正済)
第2版308ページの練習問題39.4(c)では条件「p − 1はkを割らない」が必要ではありませんか？（Nさんの指摘）
回答
おっしゃる通りです。たとえば k = p − 1 としてみましょう。
すると合同式の左辺（1から p − 1 までの k 乗の和）の各項は，フェルマーの小定理（第9章）により1となり，合同式の左辺は p を法として − 1 に合同になってしまいます。
したがって問題の合同式が成立するためには，0乗に相当する条件を p を法とした合同式において除外するための条件「p − 1 は k を割らない」が必要になります。
ご指摘ありがとうございました．
ところで，上の反例は事実ですから，こうした条件が必要になることはわかるとして，一方で，この問題ではベキ乗の和に関する多項式 C(X) を求め，それを恒等式として扱っている気もします。
このように考えると，どこかに証明が破綻しているところがありそうです。
実は，303ページの証明において「k で割れば漸化式を得ます」とあるのですが，p を法とした合同式でも成り立つようにするには，合同式で0にあたる p の倍数で割ることが許されないのです。
304ページで「k」と書いてある記号を308ページの記号と比較すれば「k + 1 が p で割れないこと」が漸化式を与える条件に必要なことがわかり，このことがとくに k + 1 = p を含む上記で指摘してある問題に関係してくるのです。

[編集] 第43章(2nd.40章)．三次曲線と楕円曲線

質問(2002年5月3日更新)
第2版316ページの図40.2において，左上の点座標 (2,3)\ は (-2,3)\ の誤りではありませんか？（渡辺さんの指摘）
回答
おっしゃる通り左上の点の座標は (-2,3)\ の誤りです．
ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第44章(2nd.41章)．有理点をほとんどもたない楕円曲線

[編集] 第45章(2nd.42章)．p を法とする楕円曲線上の点

質問(2002年9月25日更新)
第2版333ページの表42.4のキャプションにおいて，a_p/p\ は a_p/2\ の誤りではありませんか？（菊地さんの指摘）
回答
おっしゃる通りキャプションは a_{p}/2\ の誤りです．
ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第46章(2nd.43章)．p を法とするねじれ点集合と悪い素数

[編集] 第47章(2nd.44章)．p 欠乏の上限とモジュラー性のパターン

質問(2002年9月25日更新)
346ページの一番下の式において，E_;\ は E_3\ の誤りではありませんか？（菊地さんの指摘）
回答
おっしゃる通り数式名は E_3\ の誤りです．
ご指摘ありがとうございました．

[編集] 第48章(2nd.45章)．楕円曲線とフェルマーの最終定理

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